Exemple : calcul d'une mesure d'angle avec le théorème d'Al-Kashi

Exemple

On considère le triangle \(\text{PIN}\) tel que \(\text{PI}=11~\text{cm}\), \(\text{IN}=9~\text{cm}\) et \(\text{NP}=6~\text{cm}\).
On cherche à déterminer la valeur arrondie au dixième de la mesure en degrés de l'angle \(\widehat{\text{NPI}}\).

D'après le théorème d'Al-Kashi :
\(\text{IN}^2=\text{PI}^2+\text{PN}^2-2 \times \text{PI} \times \text{PN} \times\cos\left(\widehat{\text{NPI}}\right)\)
soit \(9^2=11^2+6^2-2 \times 11 \times 6 \times\cos\left(\widehat{\text{NPI}}\right)\)
soit \(81=121+36-132\times \cos\left(\widehat{\text{NPI}}\right)\)
soit \(\cos\left(\widehat{\text{NPI}}\right)=\dfrac{121+36-81}{132}\)
soit \(\cos\left(\widehat{\text{NPI}}\right)=\dfrac{76}{132}\)
soit \(\cos\left(\widehat{\text{NPI}}\right)=\dfrac{19}{33}\)

À l'aide de la calculatrice, \(\widehat{\text{NPI}}\approx54{,}8°\).